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四、函数对称性应用举例
例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5-x) = f (5+x),则f (x)一定是( )
(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数
(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数
解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10-x).
∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。
故选(A)
例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=( )。
(A)1999; (B)2000; (C)2001; (D)2002。
解：∵y = f(x-1)和y = g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称，
∴y = g-1(x-2) 反函数是y = f(x-1)，而y = g-1(x-2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x-1) = 2 + g(x), ∴有f(5-1) = 2 + g(5)=2001
故f(4) = 2001,应选(C)
例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1-x),当-1≤x≤0时，
f (x) = -x，则f (8.6 ) = _________
解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴;
又∵f(1+x)= f(1-x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3
例4. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= -f(x),当0≤x≤1时，
f (x) = x，则f (7.5 ) = ( )
(A) 0.5(B)-0.5(C) 1.5(D) -1.5
解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点(0，0)是其对称中心;
又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x)，即f (1+ x) = f (1-x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。
∴f (7.5 ) = f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 故选(B)
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